lunes, 25 de mayo de 2009

1.- OSCILADOR FERMI

Consideremos el siguiente sistema oscilante: una partícula de masa m, se deja caer desde una altura h, sobre una plataforma de masa M unida a un muelle elástico de constante k. La partícula cae y choca elásticamente con la plataforma, el bloque asciende y desciende, la plataforma oscila y se vuelven a encontrar al cabo de un cierto tiempo, chocan y así, sucesivamente.

Se aplica la segunda ley de Newton para estudiar el movimiento del sistema formado por el muelle y la plataforma, y las ecuaciones del movimiento de caída libre para estudiar el movimiento del bloque. En el momento del choque, se aplica el principio de conservación del momento lineal y de la energía.

El sistema es conservativo, la energía del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma se mantiene constante.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO.

Estudiamos las distintas etapas del movimiento del bloque y de la plataforma, para ello establecemos el origen en la posición del extremo del muelle sin deformar. Vamos a disponer de dos relojes uno que mide el tiempo parcial t de cada una de las etapas del movimiento y otro que mide el tiempo total tt, desde el momento en el que se libera el bloque a una altura h sobre el origen.

SITUACIÓN INICIAL.

En la figura, se muestra la situación inicial. El bloque de masa m está a una altura h sobre el origen. La plataforma de masa M descansa sobre el muelle elástico de constante k. La plataforma desciende una altura ye, hasta que se equilibran el peso Mg y la fuerza que ejerce el muelle k·ye.

ye=Mg/k

La energía inicial del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma es

MOVIMIENTO BLOQUE.

Se libera el bloque, las ecuaciones del movimiento son:

El bloque permanece en reposo, en la posición de equilibrio, tal como se muestra en la figura

y=-ye
vy
=0

El choque ente el bloque y la plataforma se produce en la posición x0=-ye, en el instante t1.

La velocidad del bloque es

vx=-g·t1

CHOQUE ELASTICO.

Supondremos que el bloque y la plataforma forman un sistema aislado en el momento del choque. El momento lineal se conserva. Si además el choque elastico, la energía cinética antes y después del choque es la misma.

donde vx y Vx son las velocidades del bloque antes y después del choque, y vy y Vy son las velocidades de la plataforma antes y después del choque.

Escribimos las ecuaciones de la forma alternativa

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia

Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver

Despejamos las velocidades del bloque Vx y de la plataforma Vy después del choque

MOVIMIENTO DEL BLOQUE DESPUES DEL CHOQUE.

En el instante t=0, (tiempo total tt=t1) el bloque parte de la posición x0=-ye, con velocidad inicial v0x=Vx

MOVIMIENTO DE LA PLATAFORMA DEPSUES DEL CHOQUE.

En el instante t=0, (tiempo total tt=t1) la plataforma parte de la posición y0=-ye, con velocidad inicial v0y=Vy

Las fuerzas sobre la plataforma son el peso y la fuerza que ejerce el muelle. La segunda ley de Newton se escribe

Ma=-ky-Mg

En forma de ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial es la suma de la solución de la ecuación diferencial homogénea

y1=Asen(ωt)+Bcos(ωt)

donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales

y de la solución particular

y2=C

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante C.

ω2C=-g

La solución de la ecuación diferencial completa es y=y1+y2

Las condiciones iniciales son las siguientes: la plataforma parte en el instante t=0 (tiempo total tt=t1) de la posición y0, con velocidadv0y. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para determinar A y B.

SEGUNDO CHOQUE.

El próximo choque se produce en el instante t2, (tiempo total tt=t1+t2) cuando coinciden la posición x del bloque y la posición y de la plataforma. Para ello, hay que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

Se obtiene la raíz t2 de la ecuación y se calcula la posición xc=yc de encuentro en dicho instante.

La velocidad del bloque antes del choque es

La velocidad de la plataforma antes del choque es

Se calculan las velocidades Vx y Vy del bloque y de la plataforma despues del choque. Estas son las velocidades v0x=Vx y v0y=Vyiniciales de ambos cuerpos en el instante t=0 (tiempo total tt=t1+t2) cuando se encuentran en la posición x0=xc, y0=yc calculada en el instante t2.

El bloque asciende y la plataforma oscila, vuelven a chocar y así, sucesivamente…

La energía del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma en cualquier instante tt es

La energía total permanece constante

viernes, 22 de mayo de 2009

a.- PROYECTO FERMI


VÍDEO PROYECTO.

Altura de inicio.

18 [cm]

Velocidad de la masa en el choque.

1,878 [m/s]

Amplitud del Resorte en el choque.

4 [cm]



ANALISIS DE DATOS.


























REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL MOVIMIENTO.



2.- PENDULO CAÓTICO

El «péndulo caótico», muestra cómo la trayectoria descrita por un péndulo sometido a la atracción de un solo imán (además de la gravedad) tiene un movimiento predecible. En cambio, si se somete a la atracción de dos imanes, se vuelve caótico. Este es el concepto clave de la exposición: un sistema caótico es sensible a cualquier perturbación en sus condiciones iniciales.






Cuando se pone en movimiento el sistema mecánico de la figura experimenta unos movimientos no predecibles.


El péndulo de la figura está formado por un trozo de metal suspendido entre cuatro imanes. Cada vez que se separa de la posición de equilibrio se moverá de manera diferente a diferencia de los movimientos en ausencia de los imanes. La trayectoria del péndulo y la posición final de reposo encima de uno de los imanes depende de la posición desde la que se suelta el péndulo. Si se le deja cerca de uno de los imanes, se mueve casi directamente hacia el imán. Más lejos los imanes pugnan por la prioridad. El péndulo encuentra "dificultad" a la hora de elegir.






VIDEO PÉNDULO CAÓTICO.





DATOS OBTENIDOS.























3.- PELOTA EN PISTÓN

En esta página, se describe el movimiento de una bola que cae y rebota sobre un pistón que describe un Movimiento Armónico Simple en dirección vertical, de amplitud A y frecuencia angular ω. En la actividad que se propone, se tratará de conseguir que la bola rebote sincronizadamente con el movimiento del pistón.

Este ejemplo, ilustra una propiedad importante de los aceleradores del tipo sincrotrón, denominada estabilidad en la fase, véase el artículo citado en las referencias

Una segunda característica de este ejemplo, es la dependencia del movimiento posterior de la bola respecto de las condiciones iniciales de partida.

Ecuaciones del movimiento

  • Movimiento del pistón

El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. En el instante inicial t=0, el pistón parte del origen. Su posición y velocidad en función del tiempo t es

yp=A·sen(ωt)
vp
= A·ω·cos(ωt)

  • Movimiento de la bola

La bola se deja caer desde una altura h, con velocidad inicial nula en el instante t0, Su posición y velocidad en el instante t son

yb=h-g(t-t0)2/2
vb= -g
(t-t0)

  • Primer choque entre la bola y el pistón

Choque

El encuentro entre el pistón y la bola se produce en la posición y1 y en el instante t1 tal que yb=yp. Para determinar el instante t1, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

h-g(t-t0)2/2=sen(ωt)

Antes del choque la velocidad de la bola es

u1= -g(t1-t0)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que su velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωt1)

De la definición de coeficiente de restitución e, determinamos la velocidad de la bola v1inmediatamente después del choque

v1-vp=-e(u1-vp)


v1=(1+e)·A·ω·cos(ωt1)+eg(t1-t0)

Esta es la velocidad inicial de la bola en su movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo hasta el próximo choque con el pistón.

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t12 serán

yb=y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2
vb=v1-
g(t-t1)

  • Segundo choque entre la bola y el pistón

Choque

El segundo choque se produce en la posición y2 y en el instante t2 tal que yb=yp. Para determinar el instante t2, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2=sen(ωt)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωt2)

La velocidad de la bola antes del choque es

u2= v1-g(t2-t1)

La velocidad de la bola después del choque es

v2=(1+e)·A·ω·cos(ωt2)-e(v1-g(t2-t1))

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t23 serán

yb=y2+v2(t-t2)-g(t-t2)2/2
vb=v2-g(t-t2)

  • Choque n entre la bola y el pistón

El movimiento de la bola después del choque n

yb=yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2

Choque

El instante tn+1 y la posición yn+1 en el momento del siguiente choque se determina resolviendo la ecuación trascendente

yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2=sen(ωt)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωtn+1)

La velocidad de la bola antes del choque es

un+1= vn-g(tn+1-tn)

La velocidad de la bola después del choque es

vn+1=(1+e)·A·ω·cos(ωtn+1)-e(vn-g(tn+1-tn))

Después del choque

El movimiento de la bola después del choque n+1 es

yb=yn+1+vn+1(t-tn+1)-g(t-tn+1)2/2
vb=v
n+1-
g(t-tn+1)

El proceso iterativo se detiene cuando el intervalo de tiempo tn+1-tn entre dos choques consecutivos es menor que el paso dt, utilizado para mover la partícula y el pistón. El programa interactivo es entonces, incapaz de determinar el tiempo del siguiente choque.

La bola puede continuar rebotando sobre el pistón o bien, puede quedar pegada al pistón. En la página titulada "Caída libre y sucesivos rebotes" hemos demostrado que una bola que rebota sobre un plano horizontal precisa un tiempo finito para llegar al reposo después de infinitos rebotes. Si la aceleración del pistón

-2·sen(ωt)

es mayor que la aceleración de la gravedad, la partícula no se pega al pistón, aunque podría rebotar y volver de nuevo al reposo sobre el pistón en un tiempo finito menor que el periodo de oscilación.



VIDEO MOVIMIENTO BOLA-PISTÓN

ALTURA INICIAL BOLA ---> h = 50 cm.

VELOCIDAD INICIAL BOLA ---> Vo = 0 mt/s

MASA BOLA ---> m = 0,149 kg

CTE. RESORTE ---> k = 392 N/m


1.- Grafico del Movimiento de la Bola





Datos excel






2.- Gráfico movimiento Pistón





Datos Excel