Consideremos el siguiente sistema oscilante: una partícula de masa m, se deja caer desde una altura h, sobre una plataforma de masa M unida a un muelle elástico de constante k. La partícula cae y choca elásticamente con la plataforma, el bloque asciende y desciende, la plataforma oscila y se vuelven a encontrar al cabo de un cierto tiempo, chocan y así, sucesivamente.
Se aplica la segunda ley de Newton para estudiar el movimiento del sistema formado por el muelle y la plataforma, y las ecuaciones del movimiento de caída libre para estudiar el movimiento del bloque. En el momento del choque, se aplica el principio de conservación del momento lineal y de la energía.
El sistema es conservativo, la energía del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma se mantiene constante.
ECUACIONES DE MOVIMIENTO.
Estudiamos las distintas etapas del movimiento del bloque y de la plataforma, para ello establecemos el origen en la posición del extremo del muelle sin deformar. Vamos a disponer de dos relojes uno que mide el tiempo parcial t de cada una de las etapas del movimiento y otro que mide el tiempo total tt, desde el momento en el que se libera el bloque a una altura h sobre el origen.
SITUACIÓN INICIAL.
 | En la figura, se muestra la situación inicial. El bloque de masa m está a una altura h sobre el origen. La plataforma de masa M descansa sobre el muelle elástico de constante k. La plataforma desciende una altura ye, hasta que se equilibran el peso Mg y la fuerza que ejerce el muelle k·ye. ye=Mg/k La energía inicial del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma es
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MOVIMIENTO BLOQUE.
Se libera el bloque, las ecuaciones del movimiento son:
El bloque permanece en reposo, en la posición de equilibrio, tal como se muestra en la figura
y=-ye
vy=0
El choque ente el bloque y la plataforma se produce en la posición x0=-ye, en el instante t1.
La velocidad del bloque es
vx=-g·t1
CHOQUE ELASTICO.
Supondremos que el bloque y la plataforma forman un sistema aislado en el momento del choque. El momento lineal se conserva. Si además el choque elastico, la energía cinética antes y después del choque es la misma.
donde vx y Vx son las velocidades del bloque antes y después del choque, y vy y Vy son las velocidades de la plataforma antes y después del choque.
Escribimos las ecuaciones de la forma alternativa
La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia
Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver
Despejamos las velocidades del bloque Vx y de la plataforma Vy después del choque
MOVIMIENTO DEL BLOQUE DESPUES DEL CHOQUE.
En el instante t=0, (tiempo total tt=t1) el bloque parte de la posición x0=-ye, con velocidad inicial v0x=Vx
MOVIMIENTO DE LA PLATAFORMA DEPSUES DEL CHOQUE.
En el instante t=0, (tiempo total tt=t1) la plataforma parte de la posición y0=-ye, con velocidad inicial v0y=Vy
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Las fuerzas sobre la plataforma son el peso y la fuerza que ejerce el muelle. La segunda ley de Newton se escribe
Ma=-ky-Mg
En forma de ecuación diferencial
La solución de esta ecuación diferencial es la suma de la solución de la ecuación diferencial homogénea
y1=Asen(ωt)+Bcos(ωt)
donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales
y de la solución particular
y2=C
Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial determinamos el valor de la constante C.
ω2C=-g
La solución de la ecuación diferencial completa es y=y1+y2
Las condiciones iniciales son las siguientes: la plataforma parte en el instante t=0 (tiempo total tt=t1) de la posición y0, con velocidadv0y. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para determinar A y B.
SEGUNDO CHOQUE.
El próximo choque se produce en el instante t2, (tiempo total tt=t1+t2) cuando coinciden la posición x del bloque y la posición y de la plataforma. Para ello, hay que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente
 | Se obtiene la raíz t2 de la ecuación y se calcula la posición xc=yc de encuentro en dicho instante.
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La velocidad del bloque antes del choque es
La velocidad de la plataforma antes del choque es
Se calculan las velocidades Vx y Vy del bloque y de la plataforma despues del choque. Estas son las velocidades v0x=Vx y v0y=Vyiniciales de ambos cuerpos en el instante t=0 (tiempo total tt=t1+t2) cuando se encuentran en la posición x0=xc, y0=yc calculada en el instante t2.
El bloque asciende y la plataforma oscila, vuelven a chocar y así, sucesivamente…
La energía del sistema formado por el bloque, el muelle y la plataforma en cualquier instante tt es
La energía total permanece constante
