En esta página, se describe el movimiento de una bola que cae y rebota sobre un pistón que describe un Movimiento Armónico Simple en dirección vertical, de amplitud A y frecuencia angular ω. En la actividad que se propone, se tratará de conseguir que la bola rebote sincronizadamente con el movimiento del pistón.
Este ejemplo, ilustra una propiedad importante de los aceleradores del tipo sincrotrón, denominada estabilidad en la fase, véase el artículo citado en las referencias
Una segunda característica de este ejemplo, es la dependencia del movimiento posterior de la bola respecto de las condiciones iniciales de partida.
Ecuaciones del movimiento
Movimiento del pistón
El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. En el instante inicial t=0, el pistón parte del origen. Su posición y velocidad en función del tiempo t es
yp=A·sen(ωt)
vp= A·ω·cos(ωt)
Movimiento de la bola
La bola se deja caer desde una altura h, con velocidad inicial nula en el instante t0, Su posición y velocidad en el instante t son
yb=h-g(t-t0)2/2
vb= -g(t-t0)
Primer choque entre la bola y el pistón
Choque
El encuentro entre el pistón y la bola se produce en la posición y1 y en el instante t1 tal que yb=yp. Para determinar el instante t1, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente
h-g(t-t0)2/2= A·sen(ωt)
Antes del choque la velocidad de la bola es
u1= -g(t1-t0)
La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que su velocidad antes y después del choque es
vp= A·ω·cos(ωt1)
De la definición de coeficiente de restitución e, determinamos la velocidad de la bola v1inmediatamente después del choque v1-vp=-e(u1-vp) |
v1=(1+e)·A·ω·cos(ωt1)+eg(t1-t0)
Esta es la velocidad inicial de la bola en su movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo hasta el próximo choque con el pistón.
Después del choque
La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t1
serán 2 yb=y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2
vb=v1-g(t-t1)
Segundo choque entre la bola y el pistón
Choque
El segundo choque se produce en la posición y2 y en el instante t2 tal que yb=yp. Para determinar el instante t2, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente
y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2=A·sen(ωt)
La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es
vp= A·ω·cos(ωt2)
La velocidad de la bola antes del choque es
u2= v1-g(t2-t1)
La velocidad de la bola después del choque es
v2=(1+e)·A·ω·cos(ωt2)-e(v1-g(t2-t1))
Después del choque
La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t2
serán 3 yb=y2+v2(t-t2)-g(t-t2)2/2
vb=v2-g(t-t2)
Choque n entre la bola y el pistón
El movimiento de la bola después del choque n
yb=yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2
Choque
El instante tn+1 y la posición yn+1 en el momento del siguiente choque se determina resolviendo la ecuación trascendente
yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2= A·sen(ωt)
La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es
vp= A·ω·cos(ωtn+1)
La velocidad de la bola antes del choque es
un+1= vn-g(tn+1-tn)
La velocidad de la bola después del choque es
vn+1=(1+e)·A·ω·cos(ωtn+1)-e(vn-g(tn+1-tn))
Después del choque
El movimiento de la bola después del choque n+1 es
yb=yn+1+vn+1(t-tn+1)-g(t-tn+1)2/2
vb=vn+1-g(t-tn+1)El proceso iterativo se detiene cuando el intervalo de tiempo tn+1-tn entre dos choques consecutivos es menor que el paso dt, utilizado para mover la partícula y el pistón. El programa interactivo es entonces, incapaz de determinar el tiempo del siguiente choque.
La bola puede continuar rebotando sobre el pistón o bien, puede quedar pegada al pistón. En la página titulada "Caída libre y sucesivos rebotes" hemos demostrado que una bola que rebota sobre un plano horizontal precisa un tiempo finito para llegar al reposo después de infinitos rebotes. Si la aceleración del pistón
-Aω2·sen(ωt)
es mayor que la aceleración de la gravedad, la partícula no se pega al pistón, aunque podría rebotar y volver de nuevo al reposo sobre el pistón en un tiempo finito menor que el periodo de oscilación.
VIDEO MOVIMIENTO BOLA-PISTÓN
ALTURA INICIAL BOLA ---> h = 50 cm.
VELOCIDAD INICIAL BOLA ---> Vo = 0 mt/s
MASA BOLA ---> m = 0,149 kg
CTE. RESORTE ---> k = 392 N/m
Datos excel
2.- Gráfico movimiento Pistón
Datos Excel