viernes, 22 de mayo de 2009

3.- PELOTA EN PISTÓN

En esta página, se describe el movimiento de una bola que cae y rebota sobre un pistón que describe un Movimiento Armónico Simple en dirección vertical, de amplitud A y frecuencia angular ω. En la actividad que se propone, se tratará de conseguir que la bola rebote sincronizadamente con el movimiento del pistón.

Este ejemplo, ilustra una propiedad importante de los aceleradores del tipo sincrotrón, denominada estabilidad en la fase, véase el artículo citado en las referencias

Una segunda característica de este ejemplo, es la dependencia del movimiento posterior de la bola respecto de las condiciones iniciales de partida.

Ecuaciones del movimiento

  • Movimiento del pistón

El pistón describe un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. En el instante inicial t=0, el pistón parte del origen. Su posición y velocidad en función del tiempo t es

yp=A·sen(ωt)
vp
= A·ω·cos(ωt)

  • Movimiento de la bola

La bola se deja caer desde una altura h, con velocidad inicial nula en el instante t0, Su posición y velocidad en el instante t son

yb=h-g(t-t0)2/2
vb= -g
(t-t0)

  • Primer choque entre la bola y el pistón

Choque

El encuentro entre el pistón y la bola se produce en la posición y1 y en el instante t1 tal que yb=yp. Para determinar el instante t1, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

h-g(t-t0)2/2=sen(ωt)

Antes del choque la velocidad de la bola es

u1= -g(t1-t0)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que su velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωt1)

De la definición de coeficiente de restitución e, determinamos la velocidad de la bola v1inmediatamente después del choque

v1-vp=-e(u1-vp)


v1=(1+e)·A·ω·cos(ωt1)+eg(t1-t0)

Esta es la velocidad inicial de la bola en su movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo hasta el próximo choque con el pistón.

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t12 serán

yb=y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2
vb=v1-
g(t-t1)

  • Segundo choque entre la bola y el pistón

Choque

El segundo choque se produce en la posición y2 y en el instante t2 tal que yb=yp. Para determinar el instante t2, tenemos que resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente

y1+v1(t-t1)-g(t-t1)2/2=sen(ωt)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωt2)

La velocidad de la bola antes del choque es

u2= v1-g(t2-t1)

La velocidad de la bola después del choque es

v2=(1+e)·A·ω·cos(ωt2)-e(v1-g(t2-t1))

Después del choque

La posición y la velocidad de la bola en el intervalo t23 serán

yb=y2+v2(t-t2)-g(t-t2)2/2
vb=v2-g(t-t2)

  • Choque n entre la bola y el pistón

El movimiento de la bola después del choque n

yb=yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2

Choque

El instante tn+1 y la posición yn+1 en el momento del siguiente choque se determina resolviendo la ecuación trascendente

yn+vn(t-tn)-g(t-tn)2/2=sen(ωt)

La velocidad del pistón se supone que no cambia cuando choca con la bola, de modo que la velocidad antes y después del choque es

vp= A·ω·cos(ωtn+1)

La velocidad de la bola antes del choque es

un+1= vn-g(tn+1-tn)

La velocidad de la bola después del choque es

vn+1=(1+e)·A·ω·cos(ωtn+1)-e(vn-g(tn+1-tn))

Después del choque

El movimiento de la bola después del choque n+1 es

yb=yn+1+vn+1(t-tn+1)-g(t-tn+1)2/2
vb=v
n+1-
g(t-tn+1)

El proceso iterativo se detiene cuando el intervalo de tiempo tn+1-tn entre dos choques consecutivos es menor que el paso dt, utilizado para mover la partícula y el pistón. El programa interactivo es entonces, incapaz de determinar el tiempo del siguiente choque.

La bola puede continuar rebotando sobre el pistón o bien, puede quedar pegada al pistón. En la página titulada "Caída libre y sucesivos rebotes" hemos demostrado que una bola que rebota sobre un plano horizontal precisa un tiempo finito para llegar al reposo después de infinitos rebotes. Si la aceleración del pistón

-2·sen(ωt)

es mayor que la aceleración de la gravedad, la partícula no se pega al pistón, aunque podría rebotar y volver de nuevo al reposo sobre el pistón en un tiempo finito menor que el periodo de oscilación.



VIDEO MOVIMIENTO BOLA-PISTÓN

ALTURA INICIAL BOLA ---> h = 50 cm.

VELOCIDAD INICIAL BOLA ---> Vo = 0 mt/s

MASA BOLA ---> m = 0,149 kg

CTE. RESORTE ---> k = 392 N/m


1.- Grafico del Movimiento de la Bola





Datos excel






2.- Gráfico movimiento Pistón





Datos Excel